Je voulais juste une petite appli « rafraichissante » et calme où il suffirait de glisser son doigt sur le smartphone pour faire des petites vagues et éclaboussures d’eau.

Ensuite, j’ai voulu y recréer l’ambiance d’une des plages où j’aime à me détendre l’été. De fil en aiguille, ça devient un jeu presque complet avec des petites balles flottantes à déplacer pour un atteindre un rocher en forme de C (ou fer à cheval), avec poissons gobeurs de balles, des courants contraires, des méduses, … et d’autres choses à venir !

Testez par vous-même : https://ondaclara.antweb.fr

Si vous êtes intéressé par la conception du jeu, je vous présente ci-après les règles physiques qui y sont mises en œuvre, ainsi que le code Python qui les illustre.

La physique d’Onda Clara — Antweb

La physique d’Onda Clara

Ce qu’un jeu simule vraiment — et ce qu’il approxime.

Anthony Henriques — Antweb.fr

Avertissement méthodologique

Un jeu n’est pas une simulation. Il emprunte à la physique ce qui sert la sensation, et s’en écarte partout où l’exactitude coûterait sans se voir. Ce document distingue systématiquement :

✅ Ce qui est physiquement exact — l’équation est celle des manuels ;
⚠️ Ce qui est une approximation assumée — physiquement faux, mais visuellement juste ;
🐛 Ce qui est une erreur — physiquement faux, et invisible seulement par accident.

Cette dernière catégorie est la plus instructive. Elle existe dans ce jeu.

1. L’équation des ondes

La loi

La surface de l’eau obéit à l’équation des ondes en deux dimensions :

\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 h = c^2 \left( \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} \right)

où $h(x,y,t)$ est la hauteur de la surface et $c$ la célérité de l’onde.

C’est la même équation que pour une corde vibrante, une membrane de tambour, ou le champ électromagnétique dans le vide. Sa signature : l’accélération d’un point est proportionnelle à sa courbure locale. Un creux entouré de crêtes remonte ; une crête isolée s’affaisse.

La discrétisation

On échantillonne $h$ sur une grille $\Delta x$ et dans le temps par pas $\Delta t$ . En remplaçant les dérivées secondes par des différences finies centrées :

\frac{h_{i,j}^{n+1} – 2h_{i,j}^{n} + h_{i,j}^{n-1}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2}\left( h_{i+1,j}^n + h_{i-1,j}^n + h_{i,j+1}^n + h_{i,j-1}^n – 4h_{i,j}^n \right)

En posant le nombre de Courant $C = c\,\Delta t / \Delta x$ , on isole l’instant suivant :

h^{n+1} = 2h^n – h^{n-1} + C^2\left( \sum_{\text{voisins}} h^n – 4h^n \right)

C’est un schéma dit leapfrog (saute-mouton) : il utilise deux instants passés pour produire le suivant. D’où les deux tampons du code, buffer1 et buffer2.

Le code du jeu

buffer2[idx] = ((L + R + U + D) * 0.5 - buffer2[idx]) * damp;

Où sont passés les $2h^n$ ? Posons $C^2 = 1/2$ :

h^{n+1} = 2h^n – h^{n-1} + \tfrac{1}{2}\textstyle\sum h^n – 2h^n = \tfrac{1}{2}\textstyle\sum h^n – h^{n-1}

Les termes en $h^n$ s’annulent exactement. Le facteur 0.5 du code est $C^2$ .

La condition de stabilité (CFL)

Un schéma explicite ne peut pas laisser l’information numérique voyager moins vite que l’onde physique. C’est la condition de Courant–Friedrichs–Lewy. En dimension $d$ :

C \le \frac{1}{\sqrt{d}}

En 2D : $C \le 1/\sqrt{2} \approx 0{,}7071$ .

Or notre schéma a $C = \sqrt{0{,}5} = 0{,}7071\ldots$

Le jeu tourne exactement à la limite CFL. C’est le réglage optimal : célérité maximale, stabilité tout juste préservée. Le facteur d’amortissement damp = 0.982 fournit la marge de sécurité qui absorbe l’accumulation d’erreurs d’arrondi.

Au-delà de cette limite, l’amplitude croît exponentiellement : la simulation « explose » en quelques dizaines de pas.

L’amortissement

h^{n+1} \leftarrow \gamma \, h^{n+1}, \qquad \gamma = 0{,}982

Ce n’est pas de la viscosité au sens de Navier–Stokes. C’est un amortissement uniforme et artificiel, qui retire la même fraction d’énergie partout à chaque pas. ⚠️ Une viscosité réelle amortit préférentiellement les courtes longueurs d’onde (elle dépend de $\nabla^2 v$ ). Notre $\gamma$ constant amortit tout également.

L’énergie décroît alors géométriquement : $E_n \propto \gamma^{2n}$ , soit une demi-vie de

t_{1/2} = \frac{\ln(1/2)}{2\ln\gamma} \approx 19 \text{ pas de simulation.}

2. La force exercée sur les balles

La loi

Une bille flottant sur une surface inclinée subit la composante tangentielle de son poids. Pour une pente faible :

\vec{F} = -m\,g\,\vec{\nabla} h

et donc, par la deuxième loi de Newton :

\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = -g\,\vec{\nabla} h

La masse disparaît. C’est le principe d’équivalence : tous les corps subissent la même accélération dans un champ de pesanteur, quelle que soit leur masse. Galilée, tour de Pise.

Le code du jeu

p.vx -= (buffer1[idx + 1] - buffer1[idx - 1]) * p.mass * g;

Le gradient est calculé par différence centrée — cela, c’est correct :

\left.\frac{\partial h}{\partial x}\right|_i \approx \frac{h_{i+1} – h_{i-1}}{2\Delta x}

(le facteur $1/2\Delta x$ est absorbé dans la constante g, ici waveForceGain = 0.005).

Mais le code multiplie par la masse. 🐛

\Delta v = -\nabla h \cdot m \cdot g \quad\Longrightarrow\quad a \propto m

Une balle deux fois plus lourde accélérerait deux fois plus vite. C’est l’inverse de la physique.

Pourquoi ce bug est invisible

Toutes les balles du jeu ont mass = 0.8. Le produit 0.8 × 0.005 = 0.004 n’est qu’un facteur constant, absorbé dans la calibration. Le bug est latent.

Il se réveillerait immédiatement si l’on donnait des masses différentes aux balles — une idée envisagée pour un futur niveau. Une balle « lourde » deviendrait alors plus réactive, ce qui heurterait l’intuition de tout joueur.

C’est un cas d’école : un paramètre maintenu constant peut masquer une erreur de modèle pendant des années.

Correction : supprimer * p.mass, puis recalibrer waveForceGain d’un facteur $1/0{,}8 = 1{,}25$ .

3. Les collisions entre balles

La loi

Deux disques élastiques qui se heurtent échangent une impulsion dirigée selon la normale au contact. Soit $\vec{n}$ le vecteur unitaire joignant les centres, et $v_n$ la vitesse relative projetée sur cette normale :

v_n = (\vec{v}_2 – \vec{v}_1)\cdot\vec{n}

L’impulsion scalaire, pour un coefficient de restitution $e$ :

j = \frac{-(1+e)\,v_n}{\dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2}}

puis :

\vec{v}_1 \leftarrow \vec{v}_1 – \frac{j}{m_1}\vec{n}, \qquad \vec{v}_2 \leftarrow \vec{v}_2 + \frac{j}{m_2}\vec{n}

Le dénominateur est l’inverse de la masse réduite $\mu = \left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)^{-1}$ .

Le code du jeu

let velAlongNormal = (p2.vx - p1.vx) * nx + (p2.vy - p1.vy) * ny;
if (velAlongNormal < 0) {
    let impulse = -(1 + 0.9) * velAlongNormal / (1/p1.mass + 1/p2.mass);
    p1.vx -= (impulse * nx) / p1.mass;
    p2.vx += (impulse * nx) / p2.mass;
}

✅ Exact. C’est la formule des manuels, avec $e = 0{,}9$ (collision quasi élastique).

Deux subtilités méritent l’attention :

Le test velAlongNormal < 0. Il n’applique l’impulsion que si les balles se rapprochent. Sans lui, deux balles qui se séparent encore en état de chevauchement recevraient une impulsion supplémentaire, et l’énergie croîtrait sans borne.

La séparation positionnelle. Le code écarte d’abord les disques de moitié du recouvrement chacun :

p1.x -= nx * (overlap / 2);
p2.x += nx * (overlap / 2);

C’est une projection de contrainte, pas de la dynamique. Elle corrige l’erreur d’intégration due au pas de temps fini. Sans elle, deux balles peuvent rester imbriquées et « vibrer ».

Ce qui est conservé

La quantité de mouvement est exactement conservée :

\Delta(m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2) = -j\vec{n} + j\vec{n} = \vec{0}

L’énergie cinétique, elle, décroît d’un facteur $(1-e^2)$ sur la composante normale : c’est le sens physique du coefficient de restitution.

4. Réflexion sur les obstacles : la condition de Neumann

La loi

Une paroi rigide impose que le flux normal soit nul :

\left.\frac{\partial h}{\partial n}\right|_{\text{paroi}} = 0

C’est une condition aux limites de Neumann homogène. Elle produit une réflexion totale, en phase.

Sa duale, la condition de Dirichlet ( $h = 0$ à la paroi), produit une réflexion en opposition de phase — c’est ce qui se passe au bout libre d’une corde.

Le piège rencontré

La version initiale du jeu écrivait naïvement :

if (obstacleMask[idx] === 1) { buffer2[idx] = 0; continue; }

C’est-à-dire $h = 0$ dans le rocher. Mais une cellule d’eau voisine calcule sa valeur en moyennant ses quatre voisins — dont cette cellule à zéro. Le rocher aspirait l’onde au lieu de la réfléchir : un mur absorbant.

La solution correcte

C’est la cellule d’eau qui doit substituer sa propre valeur à celle du rocher :

const c = buffer1[idx];
const L = obstacleMask[idx - 1] ? c : buffer1[idx - 1];

Ainsi $h_{\text{paroi}} = h_{\text{eau}}$ , donc $\partial h/\partial n = 0$ : gradient normal nul, réflexion parfaite.

Mesure sur le jeu : l’énergie contenue à l’intérieur du rocher en fer à cheval passe de 13,5 % à 22,9 % de celle de l’eau libre.

5. La houle transporte-t-elle ?

La loi

Voici la plus belle surprise de ce projet.

L’équation des ondes est linéaire. Une houle sinusoïdale fait décrire à chaque particule d’eau une orbite fermée : elle monte, avance, descend, recule. Sur un cycle complet, le déplacement net est nul.

Un bouchon sur la mer oscille ; il ne dérive pas.

Or l’expérience contredit cela : à Arrábida, les vagues poussent vers la plage. Le sillage d’un bateau déplace bel et bien ce qui flotte.

La dérive de Stokes

L’explication tient à un effet du second ordre, invisible dans l’équation linéarisée. Les orbites ne sont pas tout à fait fermées : elles sont légèrement ouvertes dans le sens de propagation. Sir George Stokes l’a établi en 1847.

Pour une onde d’amplitude $a$ , de nombre d’onde $k$ , de pulsation $\omega$ , en eau profonde, la vitesse de dérive à la surface vaut :

\bar{u}_S = a^2 k \,\omega

Le point crucial : elle est proportionnelle au carré de l’amplitude. Un terme quadratique ne peut apparaître dans une équation linéaire.

Dans le jeu

La simulation de hauteur ne contient aucun champ de vitesse : elle ne peut pas produire la dérive de Stokes. J’ai d’abord tenté de rendre la vague asymétrique — crête pointue, creux plat, comme une vague de rivage. Sans effet : le schéma linéaire re-symétrise le train en le propageant.

Il a donc fallu ajouter le terme explicitement :

const amp = Math.abs(buffer1[idx]);
return { ax: wake.dirX * STOKES * amp, ay: wake.dirY * STOKES * amp };

⚠️ Approximation : la poussée est prise proportionnelle à $|h|$ et non à $h^2$ . Le comportement qualitatif est préservé — la balle n’est transportée que là où l’onde est passée — et la synchronisation avec le front visible est automatique.

6. Réfraction et réflexion : deux lois distinctes

Un point souvent confondu, et qui a exigé deux traitements séparés dans le moteur de rendu.

La réfraction (voir à travers l’eau)

Le fond du bassin est vu à travers la surface inclinée. La loi de Snell–Descartes :

n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2

Pour de petites inclinaisons, la déviation apparente du fond vaut environ :

\delta \approx \left(1 – \frac{1}{n}\right)\theta \approx 0{,}25\,\theta \qquad (n_{\text{eau}} = 1{,}33)

La réflexion (voir sur l’eau)

Le reflet de la lune obéit à la loi de la réflexion. Si le miroir s’incline de $\theta$ , le rayon réfléchi tourne de $2\theta$ :

\delta = 2\theta

Le rapport

\frac{\delta_{\text{réflexion}}}{\delta_{\text{réfraction}}} = \frac{2}{0{,}25} = 8

Un reflet se déforme huit fois plus qu’une réfraction. C’est pourquoi, sur un lac, les reflets se brisent en éclats alors que le fond ondule doucement.

Le shader applique donc deux décalages distincts : uRefr pour le fond, et uRefr × moonWarp (3,2) pour le reflet lunaire — valeur atténuée par rapport au facteur 8 théorique, pour des raisons esthétiques.

7. Acoustique : corde ou cloche ?

La musique d’introduction a livré une leçon.

Une corde vibrante

Les modes propres d’une corde tendue de longueur $L$ sont harmoniques : leurs fréquences sont les multiples entiers de la fondamentale.

f_n = n f_1, \qquad f_1 = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}

La raideur en flexion introduit une correction du second ordre, l’inharmonicité :

f_n = n f_1 \sqrt{1 + B n^2}

avec $B \approx 8\times10^{-5}$ pour du nylon. Au cinquième partiel, l’écart n’est que de 0,1 % — inaudible, mais c’est lui qui distingue une corde réelle d’un synthétiseur.

Une plaque, une cloche

Une plaque vibrante obéit à l’équation biharmonique ( $\nabla^4$ ), et non à l’équation d’onde. Ses modes ne sont pas harmoniques. Les rapports typiques d’une cloche : $1{,}0$ — $2{,}0$ — $2{,}4$ — $3{,}0$ — $4{,}2$ — $5{,}4$ .

L’erreur commise

La première version du timbre utilisait les partiels $[1,\ 2,\ 3,\ 4{,}2,\ 5{,}4]$ , commentés « inharmonicité des cordes ».

🐛 Ce sont des rapports de cloche. La cinquième composante (rapport 5,4) tombait à 1188 Hz là où une corde donne 1101 Hz : 1,33 demi-ton d’écart, hors de tout accord. Le testeur — musicien — l’a immédiatement entendu : « Tu as mis des sons de cloches pour un fado ? »

Les partiels sont désormais entiers, corrigés de l’inharmonicité réelle du nylon.

8. Récapitulatif

Phénomène	Loi	Statut
Propagation des vagues	$\partial_t^2 h = c^2\nabla^2 h$	✅ exact (schéma leapfrog, $C = 1/\sqrt{2}$ )
Stabilité numérique	CFL : $C \le 1/\sqrt{d}$	✅ à la limite exacte
Amortissement	$h \leftarrow \gamma h$	⚠️ uniforme, non visqueux
Force sur les balles	$\vec{a} = -g\vec\nabla h$	🐛 masse en trop (latent)
Collision balle–balle	impulsion, masse réduite	✅ exact, $e = 0{,}9$
Réflexion sur rocher	Neumann : $\partial_n h = 0$	✅ exact
Transport par la houle	dérive de Stokes $\bar u \propto a^2 k\omega$	⚠️ ajouté, linéarisé en $	h	$
Réfraction du fond	Snell–Descartes	✅ approximation petit angle
Réflexion du ciel	$\delta = 2\theta$	✅ rapport $\times 8$ démontré
Timbre de corde	$f_n = nf_1\sqrt{1+Bn^2}$	✅ après correction
Frottement de la balle	$\vec v \leftarrow \lambda \vec v$	⚠️ traînée linéaire, non quadratique

Pour aller plus loin

Trois questions ouvertes, à la portée d’une L3 :

Le frottement. Le jeu utilise $\vec{v} \leftarrow \lambda\vec{v}$ , une traînée linéaire (régime de Stokes, $\mathrm{Re} \ll 1$ ). Une balle de 9 px dans l’eau est en réalité en régime turbulent : $F_D = \frac{1}{2}\rho C_D A v^2$ . Quelle différence de comportement observerait-on ?

La dispersion. L’équation des ondes du jeu est non dispersive : toutes les longueurs d’onde voyagent à la même célérité $c$ . Les vraies vagues de gravité obéissent à $\omega^2 = gk\tanh(kh)$ : les grandes longueurs d’onde vont plus vite. Comment le simuler ? Que verrait-on ?

Le déferlement. Notre équation linéaire ne peut pas produire de vague qui déferle — il y faut la non-linéarité des équations de Saint-Venant. Où intervient-elle ?

Onda Clara — jeu libre et gratuit.